문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 조르당 분해 (문단 편집) == 일반화된 고유값과 고유벡터로 이해 == 순수수학 계열이 아닌 많은 선형대수학 교재에는 조르당 분해가 '''일반화된 고유벡터'''(generalized eigenvector)의 개념으로 설명된다. 일반적인 고유벡터가 [math((T- \lambda I) v =0)]을 만족하는 [math(v)]였다면, 일반화된 고유벡터는 어떤 정수 [math(k)]에 대해 [math((T- \lambda I)^k v =0)]을 만족하는 벡터를 말한다. 보통 고유벡터는 [math(T- \lambda I)]를 한번만 적용해도 0이 되지만, 일반화된 고유벡터는 여러 번 적용이 필요한 것이다. 이 때 적용이 필요한 최소의 [math(k)], 즉 [math((T- \lambda I)^k v =0)]인 최소의 [math(k)]를 [math(v)]의 '''차수'''라 한다. 일반화된 고유벡터 [math(v)]의 차수가 k일 때, 리스트 [math(\{v, (T- \lambda I)v, (T- \lambda I)^2 v, \cdots, (T- \lambda I)^{k-1}v \})]을 '''조르당 사슬'''(Jordan chain)이라 부른다. 이 때 [math(v_i = (T- \lambda I)^i v)]라 했을 때 항등식 [math( Tv_i = \lambda v_i + v_{i+1} )] 을 생각하면, '''조르당 사슬에 대한 [math(T)]의 행렬은 조르당 블록이 된다'''는 사실을 알 수 있다. 즉 조르당 분해는 '''조르당 사슬만으로 이루어진 전체 공간의 기저를 찾을 수 있을까?''' 하는 문제가 된다. 따라서 이러한 접근에서, 조르당 분해의 구성 증명은 귀납법을 사용하게 된다. 조르당 사슬의 가장 끝 원소는 항상 [math((T- \lambda I)v = 0)]을 만족시키는 일반 고유벡터이다. 따라서 특정 고유벡터를 하나 잡고, 이를 포함하는 최대의 조르당 사슬을 생각하고, 그 조르당 사슬이 생성하는 공간과 직합을 이루는 invariant subspace를 찾으면 되는 것이다. 보통 이는 [math((T- \lambda I))]의 null space(혹은 kernel)와 column space(혹은 image) 이 둘을 적절히 기술적으로 활용하는 과정이 된다. 이 증명 자체는 보통 귀찮다고 여겨지는 부분이 많고, 실제로 본질적이라고 보기는 힘들다. 대신에 이 증명에서 중요한 것은 [math((T-\lambda I)^k)]의 계수(rank)들로 조르당 분해를 결정지을 수 있다는 결과가 된다. 정확히 말하면 [math((T-\lambda I)^k)]의 nullity(kernel의 차원)을 [math(n_k)]라 하면, 크기 [math(k)]인 조르당 블록의 개수는 [math(n_{k+1} - n_{k})]가 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기